共有名義の不動産を勝手に売却することはできるのでしょうか？

自己の持分であれば、単独で売却は可能です。（民法206条）
ただ、共有不動産の場合価値は低くなってしまうことも多いため、他の共有者の同意を得て全てを売却する換価分割、もしくは他の共有者に自己の持分を買い取ってもらう（代償分割）がおすすめです。